Les fractales pour les nuls

Les cadeaux du chaos

Les théories du chaos nous offrent 3 outils totalement nouveaux et innovants.

Ces 3 outils sont :

• L’attracteur étrange
• L’effet papillon
• Les images fractales

Les fractales pour les nuls

Les fractales sont quelque chose d’absolument stupéfiant.

Vous avez sans doute déjà vu l’une de ces vidéos zoomant à l’infini et montrant une structure dans une structure dans une structure dans…, encore et toujours la même. Outre leur effet hypnotique et leur indéniable appel esthétique, les fractales sont particulièrement intéressantes en ce qu’elles montrent la possibilité d’avoir un nombre infini de niveaux, échelles ou itérations à l’intérieur d’une structure finie. En d’autres termes, tout ce qui est fini et fractal peut contenir à lui seul l’infini.

Cette vidéo a pris 16 jours à calculer en laissant l’ordinateur tourner 24h/24. On y voit une structure fractale répétée sur près de 350 millions d’itérations, avec un zoom x10^198 – soit une grandeur avec trop de zéros pour l’écrire autrement. Elle a été réalisée en 2014.

Trois ans après, équipé d’un PC plus performant, le même youtubeur a pu réaliser une autre vidéo fractale avec cette fois 750 millions d’itérations :

Bien que déjà énorme, ce nombre d’itérations reste limité. Ceci n’est pas dû à la fractale, que l’on pourrait étendre indéfiniment, mais aux limites mêmes de la puissance de calcul de l’ordinateur. Un super-ordinateur pourrait calculer plus d’itérations, un super-ordinateur quantique encore plus et ainsi de suite. Théoriquement, on peut calculer un nombre infini d’itérations en zoomant perpétuellement dans un espace fini. La similarité des structures sur un nombre indéfini d’itérations et de niveaux fait directement écho à l’infini.

Ce n’est pas pour rien que les fractales nous fascinent, même quand nous ne sommes pas « matheux » : elles suscitent en nous des intuitions et un sentiment esthétique dont les ramifications, elles aussi, peuvent aller loin. Qu’est-ce que cela signifie d’être fini, limité, d’occuper une toute petite portion d’espace, d’être né à tel endroit et à telle heure, de pouvoir s’attendre à mourir à tel endroit et telle année… quand la plus petite portion d’espace peut suffire à contenir l’infini ? On dirait que l’univers est fait d’un nombre infini de parties, qui ont chacune un nombre potentiellement infini de parties. Une infinité d’infinis dans un infini. Mais vous avez besoin de lunettes fractales pour vous en rendre compte.

Comment les fractales ont été découvertes

Les fractales sont largement attribuées au mathématicien Benoît Mandelbrot (1924-2010). Étudiant à l’École Polytechnique, puis enseignant à Harvard, Mandelbrot était un touche-à-tout qui a eu sa maîtrise en aéronautique mais est demeuré, toute sa vie durant, fasciné par les cours de la bourse.

Au fil de sa longue carrière, il s’est vu confier la responsabilité d’étudier et d’enseigner sur les ensembles complémentaires dits de Julia et de Fatou, les premiers ayant été découverts par le mathématicien Gaston Julia (1893-1978), qui avait été l’un des professeurs de Mandelbrot à Polytechnique. Coup de chance, son poste à Harvard lui donnait accès à des ordinateurs IBM tout nouveaux, un véritable luxe pour l’époque. Mandelbrot s’est servi de ces ordinateurs pour générer des ensembles de Julia, dont il a isolé une sous-catégorie qui demeuraient invariants à toute échelle. Ces ensembles-ci montraient un degré de récurrence et d’autosimilarité inédits.

Mandelbrot a appelé ces ensembles des fractales. Il a tiré le nom du latin fractus, qui signifie « brisé » ou « fracturé », les ensembles n’apparaissant jamais lisses comme une droite ou une courbe euclidienne mais plutôt dentelés, pointus, recourbés, et ce presque également à toutes les échelles. En 1975, il a introduit les fractales au public dans un livre en français (Les objets fractals : forme, hasard, dimension), suivi quelques années plus tard d’un livre en anglais (The Fractal Geometry of Nature, 1982). Le second, avec de nombreux exemples, montre que les fractales ne sont pas des artefacts de laboratoire, comme leur découverte via l’informatique pourrait le laisser croire, mais un phénomène réel que l’on retrouve encore et encore dans la nature.

Un chou Romanesco, dont vous pouvez voir un spécimen sur la photo en haut de cet article, l’intérieur de la coquille d’un nautile, une branche de fougère ou encore les crêtes de certaines chaînes montagneuses ne sont qu’un petit échantillon de tous les objets fractals naturels capables d’autoréplication.

Les fractales devenues célèbres, Mandelbrot est revenu à ce qui l’intéressait le plus, et ce d’autant plus facilement que ses découvertes lui apportaient un regard neuf : les marchés financiers. Dans Fractales, hasard et finance (1997), il a montré que les opérateurs financiers se fiaient officiellement à des outils largement insuffisants pour vraiment comprendre les marchés, mais parvenaient officieusement – pour ceux qui y réussissent – à s’y adapter en personnalisant leurs outils au gré de leurs intuitions. Un peu plus tard, dans Une approche fractale des marchés (2006), on l’a vu démontrer l’impossibilité de prédire de manière certaine les cours de la bourse en raison, entre autres, de ce que les cours ne sont pas linéaires et que leurs cycles ne sont pas limités par des périodes de temps données.

Les marchés ne sont pas un capharnaüm, mais leur ordre est chaotique, donc correspondant au mieux à des possibles et non à des séries rigides de causes et d’effets. Nassim Taleb, dont les livres sont plus faciles d’accès pour les non-mathématiciens, a été largement inspiré par Mandelbrot.

La vengeance de Descartes

Les fractales ont des applications dans tous les domaines. Ceux que Mandelbrot n’a pas exploré – et il a déjà fait beaucoup ! – ont vu converger, à leur tour, chercheurs et ingénieurs.

En 1995, le mathématicien a préfacé Fractals in Petroleum Geology and Earth Processes (« les fractales en géologie du pétrole et dans les processus terrestres »), un effort conjoint explorant les applications des fractales dans l’estimation de réserves pétrolières, les effets topographiques des forages et d’autres domaines proches. Dans le cinéma, les effets spéciaux utilisent couramment des effets fractals pour obtenir un rendu visuel plus réaliste. En 2004, Google a célébré le 111e anniversaire de Gaston Julia, en lui attribuant la fondation de la branche des mathématiques à partir de laquelle l’entreprise a développé son algorithme PageRank.

Comme l’a écrit l’informaticien émérite Stephen Wolfram :

Mandelbrot a apporté une pièce énorme au puzzle de la science en identifiant… une idée fondamentale : dit simplement, que certaines formes géométriques sont également « rugueuses » à toute échelle. Peu importe votre altitude, ces formes ne deviennent jamais plus simples ni plus lisses. Exactement comme certaines côtes rocheuses qui, à vos pieds, paraissent tout aussi dentelées que quand vous les regardez depuis un satellite.

La nature est plus complexe que la géométrie classique. Exactes en elles-mêmes, les bonnes vieilles figures euclidiennes – droites, triangles, cônes et ainsi de suite – ne sont que des approximations lorsqu’on tente de comprendre la nature à travers elles. La géométrie et l’arithmétique classique fonctionnent bien pour des phénomènes hautement prédictibles, sans problèmes d’échelle, comme la mécanique où ont excellé Archimède et Léonard de Vinci ou le comportement des corps célestes visibles dont Newton a su calculer les trajectoires avec précision.

Cependant, si l’on regarde vers la terre et vers de petites choses plutôt que vers le ciel de Platon et des géomètres, nous ne voyons plus de belles ellipses bien nettes, mais des formes brisées et hautement répétitives.

Si Mandelbrot est né en Pologne, c’est pourtant grâce à ses études en France qu’il a connu les précieux ensembles de Julia dont il a tiré les fameuses fractales. On pourrait voir ici une simple contingence historique ; cependant, il serait aussi possible d’interpréter cela comme une sorte de vengeance lointaine de Descartes (1596-1650), fondateur de la philosophie cartésienne et auteur entre autres d’une théorie de l’univers basée sur des tourbillons. Descartes, dans son Discours de la méthode, conseillait de toujours se concentrer sur le petit et le familier, pour autant que cela soit certain, plutôt que de s’interroger sur des choses douteuses auxquelles s’attachent la reconnaissance et le prestige. Newton a toujours rejeté la cosmologie cartésienne et, bien que sa propre théorie de l’univers soit mathématiquement exemplaire, il gravitait fortement autour des honneurs, au point de diffamer son rival Leibniz pour des raisons personnelles.

Sous plusieurs aspects, on peut dire de Mandelbrot qu’il était cartésien : sa recherche a progressé patiemment, autour d’estimations mathématiques prudentes, et le découvreur des fractales se préoccupait plus d’exactitude que de popularité. En dépit de l’avancement de ses recherches, Mandelbrot a pris sept ans pour transformer le livre plutôt sec de 1975 en un panorama fascinant de phénomènes naturels fractals. Le statut de « scientifique star » dont il bénéficie actuellement pourrait bien être le fruit d’une externalité ironique, d’autant quand on sait que les tourbillons peuvent être fractals, au-delà d’une mécanique newtonienne qui ne laissait guère de place à l’indéterminé.

Et qui sait ? On peut peut-être dire que la popularité de Mandelbrot est, en elle-même, fractale, le monde scientifique produisant des « stars » de façon répétée, mais selon un rythme irrégulier et certainement peu prévisible.

La synthèse newtonienne, pourtant, n’est pas plus « morte » que la géométrie euclidienne. Le modèle très peu fractal de Newton a été un immense progrès en son temps et peut toujours servir pour prévoir les positions futures des corps célestes. La géométrie euclidienne, avec ses formes lisses et régulières, reste pieusement étudiée en cours de mathématiques jusqu’à des niveaux très avancés.

Les fractales nous rappellent simplement que, indépendamment de l’utilité des modèles mathématiques « propres » et nets et de la mécanique classique, ceux-ci demeurent des « images dans nos têtes », selon l’expression du journalisme américain Walter Lippmann. Le monde réel correspond parfois aux approximations classiques, mais est aussi bien plus souvent fractal et rempli d’itérations innombrables. Il peut être effrayant, sa complexité dépassant toujours plus notre sagacité, mais aussi magnifiquement intéressant. Plus que jamais, vous pouvez tirer le maximum de votre vie, loin des trajectoires trop faciles à déterminer. Pour cela, il vous faut des lunettes fractales. Même la petite portion de l’espace occupée par votre corps peut contenir un infini : comme disait Martin Heidegger, ici aussi, les dieux sont présents.

C’est peut-être cette toute dernière idée qui a conduit Mandelbrot à se revendiquer découvreur, mais non inventeur des fractales. Après tout, il a simplement exploré un terrain jusque-là négligé à l’aide d’ordinateurs derniers cri. Mandelbrot n’a pas créé les fractales, et il est possible que personne ne l’ait fait sinon la nature elle-même. Quoi qu’il en soit, les fractales semblent jouer un rôle crucial dans les rythmes de l’évolution – est-ce si différent des cours des marchés ? – et peuvent nous aider à tirer l’ordre du monde chaotique où nous vivons.

Un après-midi pluvieux en Bretagne

Un jour de pluie, en Bretagne, à cours d’idées pour occuper les trois enfants qui nous rendaient visite, je leur ai proposé le jeu suivant :

Donnez-moi la longueur de la côte bretonne. Celui qui trouve la réponse la plus proche de la taille réelle gagne une part de Kouign-amann.

(Pour les non-bretonnisants, le Kouign-amann est un gâteau typique de la région, particulièrement addictif et très apprécié des enfants !)

Après un court instant de réflexion, les trois enfants sont revenus, chacun clamant qu’il avait trouvé la bonne réponse. L’aîné m’a montré une carte de France, sur laquelle il avait fait ses mesures, et m’a dit fièrement que la côte mesurait à peu près 260 km. Le cadet, lui, a utilisé une carte régionale beaucoup plus précise dont je me servais pour planifier des randonnées et a rétorqué, après avoir mesuré de façon beaucoup plus détaillée, que la côte s’étirait sur presque 500 km. Enfin, le benjamin a conclu avec dédain que ses frères n’avaient rien compris :

La côte bretonne ne peut pas se mesurer. Elle est infinie. Il suffit de demander à un petit escargot de parcourir le tour de tous les rochers pour se rendre facilement compte que c’est beaucoup plus grand que ce qu’annoncent mes frères, qui se croient plus intelligents parce qu’ils sont plus grands !

Mandelbrot aussi voyait dans la côte bretonne un exemple parfait de géographie fractale. Fractal Geometry of Nature consacre un chapitre à notre chère West Coast, où le mathématicien démontre que la longueur de la côte varie selon l’altitude à partir de laquelle on fait la mesure. À défaut de donner une longueur absolue, on peut définir la côte comme une fraction, c’est-à-dire un nombre non-entier que l’on ne peut réduire aux trois dimensions mesurées par la géométrie classique.

Pour la faire courte, j’ai donné une part de gâteau à chacun des trois enfants. L’histoire ne s’arrête cependant pas là. Le lendemain, les têtes blondes étaient toujours avec nous et il pleuvait de nouveau. (Certains diront qu’en Bretagne, la pluie est un phénomène hautement prévisible car permanent, mais ce ne sont que de mauvaises langues.) J’en ai profité pour demander aux enfants de décrire eux-mêmes, sans aide de ma part, ce qu’ils voyaient sur des images fractales. Après tout, si des enfants peuvent reconnaître et définir des images fractales, comment des grands enfants comme nous n’y arriveraient-ils pas ?

Ceci est un ensemble de Mandelbrot :

Jérémie, six ans, commente :

Tu fais un cercle, puis des plus petits à côté du gros, et des plus petits sur les plus petits, et quand c’est trop petit, tu fais des points.

Celle-ci montre une structure très identifiable, ce qui en fait une fractale facile à réaliser :

Kévin, sept ans, remarque qu’

il y a une croix dans la croix dans la croix dans la croix dans la croix !

Cette fractale est appelée flocon de Koch :

Bertrand, huit ans, observe que

tu ne peux pas mesurer avec une règle, ça ne s’arrête jamais !

Notez qu’à l’échelle ou à l’étape (d), la ligne du flocon de neige, qui présente une longueur infinie si nous agrandissons encore, encore, encore… rentre dans un hexagone de dimension limitée. Autrement dit : une longueur infinie rentre dans une surface finie.

Ce cube est appelé éponge de Menger :

Jérémie :

C’est comme un Lego avec un cube qui sert à faire un plus gros cube qui sert à faire un plus gros cube qui sert à faire un plus gros cube !

Kévin :

Plus tu t’approches, ou plus tu t’en vas, et plus c’est pareil.

Chaque portion peut être aperçue à toutes les échelles. Chaque partie est, à l’œil, une copie de l’ensemble. Telle est l’autosimilarité. Dans un flocon de neige, vous voyez une structure à six sections, si vous zoomez sur une section particulière vous remarquerez qu’elle-même se compose de six sous-sections, et ainsi de suite à l’infini. Ceci est également vrai pour les nuages, certaines lignes de crête, les éclairs, les arbres, les rivières, les sols secs et même les galaxies.

En bref

J’espère que vous comprenez maintenant un peu mieux le phénomène fractal. Pour résumer :

• les fractales ont été découvertes pendant la seconde moitié du XXe siècle par le mathématicien Benoît Mandelbrot, à Harvard, grâce aux travaux du Français Gaston Julia ;
• sans entrer dans les détails mathématiques, un objet ou un phénomène fractal se remarque à sa manière de reproduire la même forme ou structure à toutes les échelles, indéfiniment (il est auto-similaire) ;
• les fractales ne peuvent pas être réduites à de la géométrie classique ou euclidienne, leur structure étant toujours beaucoup plus « rugueuse » que les droites, triangles et autres formes euclidiennes, et ce à toute échelle, car elles ne lissent jamais ;
• si elles ont été découvertes en laboratoire et à l’aide du calcul informatisé, les fractales sont pourtant un phénomène entièrement naturel ;
• on sait grâce aux fractales qu’un espace fini, quel que soit sa taille, peut contenir une infinité de niveaux d’observation.

Les fractales sont aussi liées à la théorie du chaos, leurs structures et leur manière de se réitérer correspondant souvent à des systèmes chaotiques.

 

Et vous, alors ?

À l’aide de formules relativement simples, les mathématiciens peuvent créer des constructions géométriques très complexes. Il suffit d’une structure qui peut, aux échelles supérieure et inférieure, se répéter, s’auto-intégrer, encore et encore, à l’infini. Des fractales générées par informatique peuvent reproduire les merveilles de nature avec un rendu fascinant. Pas parfait, certes, mais certainement plus « naturel » que la géométrie classique.

Toutefois, les fractales s’étendent bien au-delà des sciences dites dures. Elles ont certes des applications en sciences appliquées, comme on l’a vu plus haut avec le livre sur l’extraction de pétrole, mais aussi dans des domaines plus quotidiens ou des métiers qui nous touchent plus, comme le management, l’optimisation de nos habitudes, ou simplement, si j’ose dire, trouver le sens de la vie.

Toutes ces applications sont le propos de mon blog. Pour vous, j’en explore les ramifications en rencontrant des spécialistes – des plastiques jusqu’à la séduction – et si vous m’avez lu jusqu’ici, vous pouvez aussi jeter un œil à mon livre Chaos, mode d’emploi ou regarder l’une de mes conférences sur les multiples manières de s’adapter à un monde toujours plus fractal (et chaotique !).

Découvrez maintenant les autres cadeaux du chaos : L’attracteur étrange et l’effet papillon.

Prenez soin de vous,

Bruno Marion, le Moine Futuriste