Les fractales pour les nuls

Nous avons étudié l’évolution des systèmes chaotiques dans un autre article. Un autre apport de la théorie du Chaos, ce sont les images fractales.

La côte bretonne

Le terme fractal a été utilisé pour la première fois par Benoit Mandelbrot. Et celui-ci définit les fractales ainsi : « Les fractales sont des objets, qu’ils soient mathématiques, dus à la nature ou dus à l’homme, qu’on appelle irréguliers, rugueux, poreux ou fragmentés, et qui, de plus, possèdent ces propriétés au même degré à toutes les échelles. C’est dire que ces objets ont la même forme, qu’ils soient vus de près ou de loin. »

Pour comprendre la différence entre la géométrie classique et la géométrie fractale, prenons la différence entre la lame d’un couteau et la côte bretonne. Observée au microscope, la lame du couteau apparait très irrégulière et pleine d’aspérités. Mais si on change d’échelle, à l’œil nu, la lame apparait parfaitement droite. A l’opposé, si vous observez la côte bretonne d’un avion à faible altitude, vous observerez une côte irrégulièrement découpée. Et si vous changez d’échelle, en augmentant l’altitude de l’avion, vous observerez toujours une côte irrégulière !

bretagne

Pour le coup, restons un peu en Bretagne…

Un jour de pluie (!) à cours d’idée pour occuper les trois enfants qui nous rendaient visite en Bretagne, je leur ai proposé un jeu : « donnez-moi la longueur de la côte bretonne et le plus proche de la réponse gagne une part de Kouign amann » (pour les non-bretonnisant, il s’agit d’un gâteau qui tient en fait de la drogue dure, une fois que vous y avez gouté, il est difficile d’arrêter). Après un court instant de calme, les trois enfants reviennent me voir en clamant qu’ils ont trouvé la bonne réponse. Le plus grand des enfants me montre tout fier la carte de France qui lui a servi pour la mesure, et m’annonce fièrement : 260 km environ.

Son frère, plus jeune, annonce que pour lui la côte bretonne fait au moins le double soit plus de 500 km. Et pour étayer ses propos, il nous expose consciencieusement ses calculs élaborés à partir des cartes beaucoup plus détaillées de la Bretagne qui nous servent à organiser nos randonnées.

Enfin, le petit dernier m’annonce avec dédain que ses frères ont une fois de plus tout faux et que la côte bretonne ne peut pas se mesurer et qu’elle est de taille infinie : il suffit de demander à un petit escargot de parcourir le tour de tous les rochers pour se rendre facilement compte que c’est beaucoup plus grand que ce qu’annoncent ses frères qui se croient plus intelligents parce plus grands !

Benoit Mandelbrot pose lui-même cette question : « combien mesure la côte bretonne ? ». De toute évidence, la réponse varie de manière considérable selon l’altitude à laquelle vous allez mesurer : quelques centaines de kilomètres vue de satellite et plusieurs milliers avec votre règle double décimètre.

C’est un des aspects qui a amené Benoit Mandelbrot à adopter le terme de fractal. Fractal comme « fracturé » mais aussi comme fraction car il décrit des objets de dimension « non entière ». La géométrie classique nous a habitués à des objets de dimension entière, par exemple, l’espace ou le volume, le plan, la droite et le point. Trois valeurs suffisent à déterminer la position de quelque chose dans l’espace : latitude, longitude et altitude. L’espace est un objet de dimension 3. De même, deux valeurs suffisent à définir la position de quelque chose sur une carte. La surface plane est un objet de dimension 2. Enfin, une seule valeur permet de définir la position de quelque chose sur une ligne (« c’est à 8 km d’ici sur la route départementale »). La ligne a une seule dimension.

On voit bien que la côte bretonne ne rentre pas tout à fait dans aucun des cas précédent. Sans rentrer dans les détails, Mandelbrot a montré que l’on pouvait définir la dimension de la côte bretonne avec un nombre non-entier, une fraction, d’où à nouveau le terme de fractal.

Les images fractales

Alors, je ne me suis pas arrêté là et j’ai demandé aux enfants de revenir le lendemain, seulement en cas de pluie bien sûr… La météo m’a été favorable et je leur ai demandé le lendemain de me décrire ce qu’ils voyaient lorsque je leur présentais les images de fractales que vous verrez sur les pages suivantes. J’ai indiqué avant chaque image la définition des enfants car j’ai pensé que si des enfants pouvaient reconnaitre et définir des images fractales, de grands enfants comme nous pourraient aussi le faire !

« Tu fais un cercle, puis des plus petits à côté du gros, et des plus petits sur les plus petits, et quand c’est trop petit, tu fais des points. » Jeremy, 6 ans :

ensemble mandelbrotIl s’agit ici de ce qu’on appelle l’ensemble de Mandelbrot

« Il y a une croix dans la croix dans la croix dans la croix dans la croix ! » Kevin, 7 ans :etoile fractale

On commence à observer ici comment on peut construire une image fractale.

« Tu ne peux pas mesurer avec la règle, ça s’arrête jamais », Bertrand, 8 ans :

flocon Koch

Il s’agit ici du flocon de Koch

Vous remarquerez que la ligne extérieure du flocon, bien que de longueur infinie si on continue à augmenter la précision, tient à l’intérieur d’une surface limitée. Une longueur infinie peut donc être contenue dans une surface finie.

« C’est comme un Lego avec un cube qui sert à faire un plus gros cube qui sert à faire un plus gros cube qui sert à faire un plus gros cube », Jeremy, 6 ans :

cube fractalIl s’agit ici de ce qu’on appelle l’éponge de Menger

« Plus tu t’approches, ou plus tu t’en vas, et plus c’est pareil », Kevin, 7 ans

ensemble JuliaIl s’agit ici d’un ensemble de Julia

Les fractales dans la nature

Comme l’a indiqué Mandelbrot, on voit que dans toutes ces images fractales, chaque portion peut être observée à n’importe quelle échelle : chaque partie est (sensiblement) une copie de l’ensemble. On appelle ce phénomène auto-similarité. Un flocon de neige est ainsi un bel exemple de fractales. Si vous le regardez à la loupe, vous voyez une structure à six branches. Si vous regardez une seule branche vous remarquez qu’elle est également composée de six branches. Ainsi de suite. Le phénomène est le même avec une tige de fougère ou un chou Romanesco.

Romanesco

Le chou Romanesco

arbre fractal

Un arbre de Patagonie en Argentine

Le flocon de neige, les feuilles d’un arbre, un nuage… sont quelques exemples qui peuvent être décrits par cette branche de la mathématique des fractales. Ainsi nous pouvons confirmer que contrairement à ce qu’approxime la géométrie classique, les nuages ne sont pas des sphères, les montagnes ne sont pas des cônes et les éclairs ne se déplacent pas en ligne droite. Les nuages, les montagnes, les éclairs, mais aussi les arbres, les rivières, le sol qui sèche, les galaxies sont des fractales.

Atacama

Dans le désert d’Atacama au Chili

Une nouvelle manière de voir… et de construire le monde

Par l’utilisation de formules mathématiques relativement simples, les mathématiciens sont parvenus à créer de toutes pièces des constructions géométriques complexes qui ont une figure de base infiniment petite et qui peuvent se répéter jusqu’à l’infiniment grand, et qui reproduisent le plus fidèlement possible la nature. Pas parfaitement, loin de là, mais beaucoup plus fidèlement que la géométrie traditionnelle. D’ailleurs, la plupart des logiciels de modélisation 3D utilisent la science des fractales pour reproduire les nuages, les montagnes, les arbres, les rivières, les cheveux etc. Les trucages des films et des jeux vidéo n’auraient pas la qualité atteinte aujourd’hui sans les fractales.

Et voilà, maintenant, je suis sûr que vous allez voir des images fractales partout ! Et nous allons aussi pouvoir utiliser cette nouvelle grille de lecture pour comprendre l’évolution d‘un monde devenu plus chaotique

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